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Post Info TOPIC: Três empresas


Guru

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Três empresas
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(FUVEST - SP) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108


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Prof.

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Olá Paulo,

Vamos atribuir aos trabalhos os identificadores 1, 2, 3 e 4. Às empresas atribuímos os identificadores A, B e C.

Iniciamos a distribuição para a empresa A. Podemos dar qualquer um dos 4 trabalhos disponíveis.
Para a empresa B podemos dar um dentre os 3 que sobraram e para a empresa C podemos dar um dentre os 2 que sobraram.

Assim, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), ficamos com:

4*3*2 = 24.

Mas este é o número de maneiras de distribuir UM trabalho para CADA empresa. Ainda falta um trabalho, que pode ser distribuído entre 1 das três empresas, ou seja, a quantidade total de distribuições possíveis é:

24*3 = 72

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

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Guru

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Hola Caju.


Então, temos os trabalhos a, b, c e d e as empresas x, y e z:

Caso x fique com a e b, temos 2 maneiras distintas, pois o c pode ficar ou em y ou em z e o d tambem.

Caso x fique com a e c, temos mais 2 maneiras distintas.

Caso x fique com a e d, temos outras 2 maneiras diferentes.

Até agora temos 6.

Caso x fique com b e outra que não a, temos mais 4 maneiras diferentes.

Caso x fique com c e d, temos 2 maneiras diferentes.

Então, caso seja a empresa x a ficar com 2 trabalhos, temos 12 maneiras distintas de colocar os trabalhos, mas como nós nao sabemos que empresa é que vai fazer os dois trabalhos:

Caso y faça 2 trabalhos, temos 12 maneiras distintas.

Caso z faça 2 trabalhos, temos mais 12 maneiras diferentes.

Assim chegamos à conclusão que temos 36 maneiras diferentes de distribuir os trabalhos.

Feito por Gonçalo Simões


Outra maneira de resolver


é por análise combinatória.
Penso que o resultado seja dado por 4C2 (4 combinações 2 a 2)*2*3
Logo é 36.
Sabemos que uma delas tem 2 trabalhos, logo 4C2.
Depois de atribuídos os 2 trabalhos à primeira temos duas formas de atribuír às outras duas, logo *2.
Como são 3 empresas temos 3 possibilidades para atribuír os 2 primeiros trabalhos, logo *3.
4C2*2*3=36.
Nota: 4C2=4!/((4-2)!*2!)
Nota: n! (lê-se n factorial)=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1

Feito por Lightning_14



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Prof.

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Olá Paulo,

Com certeza, acabei vacilando e esquecendo de um último passo para a resposta final...

Da maneira que resolvi estava contando como sendo distintas as distribuições

empresa A = TRABALHO 1, TRABALHO 2
empresa B = TRABALHO 3
empresa C = TRABALHO 4

empresa 1 = TRABALHO 2, TRABALHO 1
empresa 2 = TRABALHO 3
empresa 3 = TRABALHO 4

E vemos claramente que são a mesma distribuição.

Ou seja, contei dobrado mesmo. Quando uma empresa pega dois trabalhos não importa a ordem com que ela pega os trabalhos...

Completando a resolução,

72/2 = 36

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

-- Edited by caju at 19:15, 2006-04-28

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Veteran Member

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O vacilo do Caju me lembrou do professor Morgado quando ele diz,ironicamente, que problemas de contagem não podem ser tao difíceis, já que só tem 2 modos de errar, sendo que um deles praticamente nunca ocorre:


- esquecer de contar alguma coisa (algo que geralmente não ocorre)


- contar algo mais de uma vez (que é o erro mais comum)



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