4 – Um estudante praticando a sua aritmética adicionando os números das páginas de seu livro de Matemática quando alguém o interrompeu.
Ao retornar o exercício ele inadvertidamente incluiu o número de uma das páginas duas vezes na soma tendo encontrado 1986 como resultado final. O número dessa página é:
A) 36
B) 35
C) 34
D) 33
E) 32

O que podemos ter é uma relação entre a página repetida (pr) e a página final (pf), cuja somal total encontrada caracteriza a soma de uma PA de 1 até a página final (pf) mais a página repetida (pr):

pf . (1+pf)/2 + pr = 1986
pf²/2 + pf/2 + pr = 1986

multiplicando-se por 2:

pf² + pf + 2pr - 3972 = 0

delta = 1 - 8pr + 15888 = 15889 - 8pr => pr = (15889-delta)/8

pf = (-1 + delta^½)/2 (1)
pf = (-1 - delta^½)/2 (2)

como pr e pf são inteiros positivos (páginas), usa-se a expressão (1) e a raiz quadrada de delta tem que ser também inteira positiva, alé de ter que ser ímpar. Dessa forma, como a raiz quadrada de 15889 é aproximadamente 126,05, as possível raízes quadradas de delta que satisfariam nosso caso tem que ser ímpar, inteiro e menores que 126, isto é, 125 ou 123 ou 121 e assim por diante...

Sendo esta raiz de delta 125, delta será igual a 16129, sendo assim:

pr = (15889-delta)/8 = (15889-15625)/8 = 264/8 = 33
e
pf = (-1 + 125)/2 = 124 / 2 = 62

Sendo esta raiz de delta 123, delta será igual a 15129, sendo assim:

pr = (15889-delta)/8 = (16641-15129)/8 = 760/8 = 95
e
pf = (-1 + 123)/2 = 122 / 2 = 61

Assim sendo, como pr não pode ser maior que pf e se usarmos raízes quadradas delta menores que 125, inteiras e ímpares, pr será maior que pf o que não pode ser...

Portanto, a resposta é "a página 33 foi repetida".

Feito por:

Claudio Polegato Junior