*Dica: pegue o termo 19^88  passe para a forma (18+1)^88 ...agora eh soh fazer o desenvolvimento binomial fazer as devidas verificaçoes...Qualquer coisa, se complicar, eh soh falar..vlw.. :yawn:

Olá Rafael

Já havia visto esta questão há muito tempo atrás em outro site. Agora, com o seu pedido de resolução fiz uma pesquisa rapidinha e encontrei duas fontes para a solução.
Veja só:

http://www.arrakis.es/~mcj/prb163.htm

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200405/msg00873.html

O primeiro link apresenta duas soluções, sendo que a primeira apresentada está errada (se você se interessar em saber o erro, poste aqui, podemos discutir), a segunda já dá pra ter uma idéia para resolução, mas utiliza congruências. O segundo link também envolve congruências (coisa que não comum vermos um aluno do ensino médio dominar).

Qualquer dúvida, podemos discutir...

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

Olá rafael e caju...

Foi muito bom ter voltado a discussao desta questão q verifiquei um erro meu..Acho consegui consertar.. verifiquem aí pra ver se não tem outro erro..

Precisamos encontrar os fatores de 2 e 3 da fatoraçao deste numero..Como disse na outra resposta, fiz o desenvolvimento binomial.. Aí vai:

(18+1)^88 = C(88,0)*1^88*18^0 + C(88,1)*1^87*(2*9)^1 + C(88,2)*1^86*(2*9)^2 + C(88,3)*1^85*(2*9)^3 + C(88,4)*1^84*(2*9)^4 ... (por ai segue o desenvolvimento)

Os termos mais importantes para a análise são esses... O primeiro termo vale 1 por isso, de acordo com a questao ( 19^88 - 1) ele vai embora.. Entao ficamos com:

(18+1)^88 -1 = C(88,1)*1^87*(2*9)^1 + C(88,2)*1^86*(2*9)^2 + C(88,3)*1^85*(2*9)^3 +  C(88,4)*1^84*(2*9)^4 ...

O primeiro termo deste desenvolvimento eh o que contem o maior número de fatores 2 e 3 .(verifique!!)

Colocando os fatores 8*2*9 (oriundos do primeiro termo) em evidencia ficaremos com:

(18+1)^88 -1 = 8*2*9*[ 11 + 11*87*9 + 11*86*3*2*9 + (11*87*86*85*(9)^3)/3 +...]

Bom, agora vamos mostrar que o que está dentro dos colchetes tem mais um fator 2. Verifiquem que todos os termos que estao representados pelas reticências são mútiplos de quatro. O terceiro termo eh mútlipo de quatro, assim como a soma do primeiro com o segundo. Ou seja, se somarmos todos estes termos citados e dividirmos por 2, resultará em um número par. Porém, o quarto termo divido por 2 resulta em um número impar. Entao, o que está entre colchetes pode ser escrito como sendo 2 que multiplica um número impar. Assim vemos que este número tem exatamente 5 fatores 2.

Agora vamos mostrar que o que esta dentro dos colchetes nao apresenta mais nenhum fator 3. Ora, todos os termos exceto o primeiro (11) sao multiplos de 3. Somando-os (exceto o 11 ) teremos um multilpo de 3. Sabemos contudo que um multiplo de 3 somado ao 11 nao será multiplo de 3.

Assim sendo este número apresenta 5 fatores 2 e 2 fatores 3.

A resposta será dada por:    (2+2^2+2^3+2^4+2^5)*(3+3^2) = 62*12 = 744

Ufa!!! Não sei se ficou claro. Tentem colocar no papel e confiram aí por favor.. Desde já valeu pela bom exercício e pela boa discussão.. :worship: