Geometria IME

paulo testoni · Guru

Geometria IME

caju · Prof.

Olá Paulo

FIGURA PARA RESOLUÇÃO

item a) Na figura do link acima, o ângulo alfa corresponde ao ângulo HAE. Veja que podemos olhar para o triângulo retângulo BHA e concluir que o ângulo BAH vale (90-B). Sendo assim, podemos dizer que o ângulo BAE vale (alfa + 90 - B). Mas o ângulo BAE é metade do ângulo BAC (pois AE é bissetriz), como o ângulo BAC vale (180 - B - C), podemos escrever a equação:

2BAE = BAC
2(alfa + 90 - B) = 180 - B - C
alfa = (B - C)/2

item b) Utilizando trigonometria concluímos que o comprimento BH vale BAcos(B). Agora, utilizando lei dos senos, podemos escrever a equação:

BA/sen(C) = 2R, onde R é o raio do círculo circunscrito. Ou seja:
BA = 2Rsen(C)

Portanto, podemos substituir este valor no comprimento BH:

BH = 2Rsen(C)cos(C)

Novamente com lei dos senos no lado BC temos

BC / sen(A) = 2R
BC = 2Rsen(A)

Mas A = 180 - B - C, portanto:

BC = 2Rsen(180-B-C) = 2Rsen(B+C)

Mas BM é metade de BC e HM = BM - BH, portanto:

HM = BC/2 - BH

Agora, substituindo os valores encontrados anteriormente para BC e BH, temos:

HM = Rsen(B+C) - 2Rsen(C)cos(C)

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

paulo testoni · Guru

Caro Caju, veja a minha resolução do item a):

O ângulo formado pela bissetriz de um ângulo de um Δ e a altura baixada do mesmo vértice ( no nosso caso A) é igual a semidiferença dos ângulos da base.( TEOREMA DE MENTION). Faça o desenho do triângulo.

a) Seja o triângulo ABC, AD a bissetriz e AE a altura.

b) DÂE = DÂC – EÂC, pela figura.................................................(1)

c) DÂC = Â/2, por construção, já que AD é bissetriz......................(2)
Mas, Â + B + Ĉ = 180º, donde ( Lei Angular de Thales):
Â = 180 – ( B + Ĉ)......................................................................(3)
Substituindo em (2) Â pelo seu valor encontrado em (3)Temos:
DÂC = (180º - ( B + Ĉ ))/2..........................................................(4)

d) EÂC = 90º - Ĉ ( um Δ qualquer terá sempre dois ângulos agudos, pelo menos)........................................................................................(5)

e) Substituindo em (1) DÂC e EÂC pelos seus valores encontrados em (4) e (5), vem:

DÂE = ( 180º - ( B + Ĉ ))/2 – ( 90º - Ĉ )

DÂE = [( 180º - ( B + Ĉ ) – 2*( 90º - Ĉ )]/2

DÂE = ( 180º - B - Ĉ – 180º + 2*Ĉ )/2

DÂE = ( Ĉ – B )/2

como: no qual o ângulo B é maior do que o ângulo C.

então:

DÂE = ( B -Ĉ )/2

agradeço a sua grande ajuda
Um abraço.
paulo.