Olá Rafael

Veja o desenho para guiar a solução: clique aqui

Nesta figura eu mostrei um polígono de 12 e 6 lados. Mas podemos nos basear nele sem perda de generalidade.

Vamos começar com o ângulo ABD. Já que é metade do ângulo central do polígono de 2n lados, este vale (360/2n)/2 = 90/n.

Já o ângulo ABC, sendo metade do ângulo central do polígono de n lados, vale (360/n)/2 = 180/n.

AB = R

AC=L

AD = K

Pelo triângulo BDA temos:

tan(90/n) = K/R

Pelo triângulo ABC temos:

tan(180/n) = L/R

Como 180/n é o dobro de 90/n podemos utilzar a fórmula da tangente do arco duplo:

tan(180/n) = 2tan(90/n)/[1-tan²(90/n)]

Substituindo os valores das tangentes encontrados anteriormente, temos:

LK² + 8R²K - 4R²L = 0

Note que L e R são valores conhecidos, a única variável na equação acima é K. Portanto, temos uma equação do segundo grau em K. Os coeficientes desta equação são: L, 8R² e -4R²L. Aplicando a fórmula de Báscara chegaremos na resposta:

K = 2R*raiz(4R²+L²-4R²) / L

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

AC não seria L/2???

Eu fiz de outro jeito, depois que você fez...

Aproveitando sua figura, os ângulos ABD e DBC são iguais. Fazendo o Teorema das Bissetrizes Internas no triângulo ABC...

Dados:

L' = Lado do polígono de 2n lados

AB = r , AD = L'/2 , AC = L/2 , DC = (L - L')/2

Fazendo o T.B.I. tem-se que BC = r(L-L')/L'

Agora fazendo Pitágoras no triângulo ABC, ficará a seguinte equação do 2º grau em L':

L'².L² + 8r².L.L' - 4r².L² = 0

Resolvendo, L' = 2r[sqrt(4r² + L²) - 2r]/L

OBS: sqrt(x) = raiz de x