Números naturais

paulo testoni · Guru

Números naturais

paulo testoni · Guru

Por tentativas:

23x + 31y = 1000, isolando y, fica:

y = (1000 - 23x)/31, dando valores para x até encontrar a divisão exata, temos que, qundo x for igaual a 10, y será 30. Portanto:

x + y = 10 + 30 = 40, letra b.

essa maneira é muito cansativa, gostaria que alguém mostrasse uma alternativa diferente.

S10MaNiAc · Senior Member

Olá paulo testoni. Olha, eu tentei resolver esse exercício aqui em casa, e encontrei o seguinte:

x=30 e y=10.

Mas tem um pequeno probleminha: essa equação forma um sistema possível e indeterminado (SPI). Eu fiz o seguinte sistema:

x + y = z

23x + 31y = 1000

Multiplicando a primeira equação por -23 para zerar o x=

x + y = z

0x + 8y = 1000 - 23z

Então eu resolvi o y...

8y = 1000 - 23z --> y = (1000 - 23z)/8 --> y = 125 - 2,875z

Depois eu substitui o valor de y na primeira equação:

x + y = z --> x + 125 - 2,875z = z --> x = z + 2,875z - 125 --> x = 3,875z -125

Dessa forma, os valores de x e de y dependerão do valor da soma (x + y, que é o valor de z). Note que as alternativas são justamente alguns dos possíveis valores dessa soma. Perceba ainda que, a alternativa b-) é a única que nos fornece um valor de z para que os valores de x e y sejam números naturais, que é justamente o que pede o exercício. Os outros valores resultarão em x e y pertencentes aos racionais... Mesmo assim, a resolução desse exercício é cansativa...

Espero ter ajudado um pouco...

Até mais.

S10MaNiAc · Guru

Olá S10MaNiAc

Bastante interessante a sua colocação, e se não existissem as respostas?

Obrigado pela ajuda.

Esse é um exercício de equações diofantinas.

Se você dividir 31 por 23 temos:
31 = 1.23 + 8 Isolano resto temos:
31 - 1.23 = 8 Como a equação dada é igual a 1000, então multipliquemos essa por 125.

31 . 125 - 23 . 125 = 1000 Trocando 1000 por 23x + 31 y temos
31 . 125 - 23 . 125 = 23x + 31 y Separando os termos com 23 e 31
31 (125 - y) = 23 (125 + x) Como devemos ter resultados inteiros, então 125 - y deve ser múltiplo de 23, ou seja, 125 - y = 23k. Substituindo temos:
31 . 23k = 23 (125 + x) ; x = 31 k - 125.
Somando x + y , temos um resultado igual a 8k, ou seja, a soma é um número múltiplo de 8. Daí, a resposta é letra b.

Feito pelo Hélio Carvalho

-- Edited by paulo testoni at 13:04, 2005-09-05