Problema 5

Supondo que N = ab.
Para N múltiplo de 5, então b = 0 ou b = 5.

Supondo que b = 0.
Para N + 1 múltiplo de 7, então a – 2 = 7k, para k inteiro. k poderá assumir apenas o valor igual a 1, pois a < 10. Daí, a = 9. Com isso,
N = 90, mas 92 não é múltiplo de 9.

Supondo que b = 5.
Para N + 1 múltiplo de 7, então a – 10 = 7k, para k inteiro. k não poderá assumir nenhum valor inteiro, pois a < 10.
Com isso, N não existe com 2 algarismos.


Supondo que N = abc.
Para N múltiplo de 5, então c = 0 ou c = 5.

Supondo que c = 0.
Para N + 3 múltiplo de 11, então | a + 3 – b | = 11k, para k inteiro. Supondo a + 3 – b > 0, então a + 3 – b = 11k. Como a – b tem menor valor igual a –8 e como maior 9, então –5/11<= k <= 12/11, ou seja, k poderá ser 0 ou 1. Para k = 0, a + 3 – b = 0 e a + 3 = b. Mas,
N + 2 é múltiplo de 9, então a + b + 2 = 9p com p inteiro. Como a + b é no mínimo 1 e máximo 18, então 3/9 <= p <= 20/9, ou seja, p = 1 ou
p = 2. Para p = 1, a + b = 7. Substituindo vem: 2a + 3 = 7 e a = 2, ou seja, b = 5. Com isso, N = 250, mas 251 não é múltiplo de 7. Para p = 2, a + b = 16 e a não é inteiro. Para k = 1, a + 3 – b = 11 e a – b = 8. Como a + b = 7, a não é inteiro. Se a + b = 16, então a > 9.
Para a + 3 – b < 0 temos: a + 3 – b = -11k. Daí, a – b = -11k – 3. Como -8 <= a – b <= 9, então k pode ser –1 ou 0. Para k = -1 temos
a – b = 8. Daí, a = 9 e b = 1. Com isso, N = 910 e 911 não é múltiplo de 7. Para k = 0 temos a – b = -3. Como a + b = 7 temos a = 2 e b = 5, o que já foi testado.

Supondo que c = 5.
Para N + 3 múltiplo de 11, então | a + 8 – b | = 11k, para k inteiro. Supondo a + 8 – b > 0, então a + 8 – b = 11k. Como a – b = 11k – 8 e o menor valor de a – b é -8 e o maior é 9, então 0 <= k <= 17/11, ou seja, k pode ser 0 ou 1. Para k = 0, a + 8 – b = 0 e a + 8 = b. Logo,
a = 1 e b = 9. Com isso, N = 195 e 197 não é múltiplo de 9. Para k = 1, a + 8 – b = 11 e a – b = 3. Mas, a + b + 7 = 9p, com p inteiro.
Daí, a + b = 9p – 7. Como a menor soma de a + b é 1 e a maior é 18, então 8/9 <= p <= 25/9, ou seja, p deve valer 1 ou 2. Para p = 1, temos a + b = 2 e a e b não são inteiros. Para p = 2, a + b = 11 e a = 7 e
b = 4. Com isso, N = 740, mas 741 não é múltiplo de 7. Se a + 8 – b < 0, então a + 8 – b = -11k. –8 <= -11k-8 <= 9, o que implica em k = -1 ou k = 0. Para k = -1 temos que a – b = 3 e a + b = 2, ou seja, a não é inteiro. Ainda para k = -1 temos a – b = 3 e a + b = 11. Também temos a não inteiro. Para k = 0 temos a + 8 = b. daí, a = 1 e b = 9. Logo, 197 não é divisível por 9.

Com isso, N não existe com 3 algarismos.

Supondo que N = abcd.
Para N múltiplo de 5, então d = 0 ou d = 5.

Supondo que d = 0.
Para N + 3 múltiplo de 11, então | a + c – b – 3 | = 11k, para k inteiro. Supondo a + c – b – 3 > 0, então a + c – b – 3 = 11k. Como a + c – b tem menor valor igual a –8 e maior igual 18, então –1 <= k <= 15/11, ou seja, k poderá ser –1 , 0 e 1. Para k = -1 temos a + c – b = - 8.
Mas, N + 2 é múltiplo de 9, então a + b + c + 2 = 9p com p inteiro. Substituindo temos que –6 + 2b = 9p, ou seja, b = 9p/2 + 3. Para p = 2, b = 12, o que não pode. Para k = 0 temos a + c – b = 3. Substituindo temos que 2b + 5 = 9p. Daí, para p = 1, temos b = 2. Com isso,
a + c = 5. Então temos: (5,0) ; (4,1) ; (3,2) ; (2,3) e (1,4). Portanto, os números 5200 , 5201 , 5202 e 5203 são divisíveis por 5 , 7 , 9 e 11 respectivamente. N = 4210 e 4211 não é múltiplo de 7; N = 3220 e 3221 não é divisível por 7; N = 2230 e 2231 não é divisível por 7; N = 1240 e 1241 não é divisível por 7. Para k = 1 temos a + c – b = 14 e substituindo temos 14 + 2b + 2 = 9p, ou seja, 2b = 9p – 16.
Daí, b = 9p/2 – 8. Para p = 2 temos b = 1. Como a + c – b = 14, então a + c = 15. Com isso, os pares que servem são: (9,6) ; (8,7) ; (7,8) e (6,9). Portanto, N = 9160 e 9161 não é múltiplo de 7; N = 8170 e 8171 não é múltiplo; N = 7180 e 7181 não é múltiplo de 7; N = 6190 e 6191 não é múltiplo de 7. Supondo que a + c – b – 3 < 0.
Então, a + c – b – 3 = -11k. Com isso, k só poderá ser igual a 1, ou seja, a + c – b = -8. Como a + b + c + 2 = 9p, b = 9p/2 + 3. Como p só pode valer 2, b = 12, o que não pode.

Supondo que d = 5.
Para N + 3 múltiplo de 11, então | a + c – b – 8 | = 11k, para k inteiro. Supondo a + c – b – 8 > 0, então a + c – b – 8 = 11k. Como a + c – b tem menor valor igual a –8 e maior igual 18, então
-16/11 <= k <= 26/11, ou seja, k poderá ser –1 , 0 , 1 e 2. Para k = -1 temos a + c – b = -3. Mas, N + 2 é múltiplo de 9, ou seja,
a + b + c + 7 = 9p com p inteiro. Substituindo temos que b = 9p/2 – 2, ou seja, para p = 2, b = 7. Com isso, a + c = 4 e os pares são: (1,3) ; (2,2) e (3,1). Os números 1735, 1736, 1737 e 1738 são divisíveis por 5 , 7 , 9 e 11 respectivamente. Para k = 0, temos a + c – b = 8. Substituindo temos que b = 9p/2 – 15/2. Como 9p – 15 > 0, então p > 15/9.
Para p = 2, b não é inteiro. Para p = 3, b = 6 e a + c = 14, então os pares são: (9,5) ; (8,6) ; (7,7) ; (6, 8) e (5,9). N = 9655 e 9656 não é múltiplo de 7; N = 8665 , 8666 , 8667 e 8668 são múltiplos respectivamente de 5 , 7 , 9 e 11; N = 7675 e 7676 não é múltiplo de 7; N = 6685 e 6686 não é múltiplo de 7; N = 5695 e 5696 não é múltiplo de 7. Para k = 1 temos a + c – b = 19. Mas, N + 2 é múltiplo de 9, então
a + b + c + 7 = 9p com p inteiro. Substituindo temos que b = 9p/2 –13. Para p = 4, b = 5 e a + c = 24, o que não pode. Para k = 2 temos
a + c – b = 30. Substituindo temos que b = 9p/2 – 37/2.
Como 9p – 37 > 0, então p > 4, ou seja, para p = 5 temos b = 4.
Daí a + c = 34, o que não não é possível para a e c < 10. Supondo que
a + c – b – 8 < 0. Daí, a + c – b – 8 = -11k. Considerando o esquema anterior, temos que k = 0 ou 1. Para k = 0, a + c – b = 8 que fica igual ao feito anteriormente. Para k = 1, a + c – b = -3 também. Logo, dos números encontrados acima com a característica de ser divisíveis por 5 , 7 , 9 e 11 respectivamente, os menores são: 1735 , 1736 , 1737 e 1738

Feito por Hélio Carvalho