Olá S10MaNiAc

Na esfera de raio H temos que a área lateral é: Ale = 4*pi*H²

Em um cone a área lateral é dado pela fórmula Alc = pi*R*G, como temos dois cones, a área lateral será o dobro: Alc = 2*pi*R*G

De acordo com o enunciado, a área lateral da esfera é igual à área lateral dos dois cones:

4*pi*H² = 2*pi*R*G
2*H² = R*G

Desenhando um cone com altura H, raio R e geratriz G, temos a relção (Pitágoras):

G = sqrt(H² + R²)

Substituindo este valor de G na equação verde temos:

2H² = R*sqrt(H² + R²)

Elevando ao quadrado e arrumando as parcelas temos a equação bi-quadrada em R:

(R²)² + H²R² - 4H^4 = 0

Resolvendo em R² temos:

R² = H²*(sqrt(17)-1)/2

O volume da esfera é V=4*pi*H³/3.

O volume dos dois cones é v=2*pi*R²*H/3

Fazendo a razão v/V temos:

v/V = (R²)/(2*H²)

Substituindo o valor de R² encontrado anteriormente temos:

v/V = [sqrt(17) - 1]/4

Atenciosamente
Prof. Caju
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