trigonometria

andrerj · Newbie

trigonometria

caju · Prof.

Olá AndréRJ

Desculpe a demora, mas só vi sua questão hoje. Vamos lá:

QUESTÃO 1:

Por padrão, temos que o triângulo ABC tem cateo oposto à B chamado de "b" e cateto oposto à C chamado de "c".
A média proporcional (também chamada de média geométrica ou média proporcional geométrica) indicada no enunciado pode ser escrita como:

(1) b² = a . c

Substituindo (1) na fórmula de pitágoras temos:

a² = b² + c²
a² = a.c + c²

Rearranjando a equação para melhor compreensão:

c² + a.c - a² = 0

Agora podemos resolver a equação do segundo grau em "a" aplicando báscara:

c=(-a ± raiz(a²+4a²))/2

Como estamos lidando com medidas, a raiz negativa não nos interessa:

c=a(-1+raiz(5))/2

Agora, sabendo que cos72 = (raiz(5)-1)/4, podemos escrever a equação em negrito acima como sendo:

c = 2.a.cos72

Voltamos ao triângulo inicial e temos que cosB = c/a que, substituindo o valor de c encontrado acima, temos:

cosb = 2cos72

caju · Prof.

QUESTÃO 2

Novamente usamos o padrão internacional (hehehe) que define "b" como sendo o cateto oposto à B e "c" como sendo o cateto oposto à C.
Assim, temos que sen B = b/a
Utilizando a igualdade dada no enunciado:

b/a = 3/4
b = 3a/4

Com a outra equação a+b=28 temos um sistema de equações e achamos o valor de a e b:

a = 16
b = 12

Agora, aplicando pitágoras achamos o cateto c=4.raiz(7)

Atenciosamente
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caju · Prof.

Novamente, sendo "a" o lado oposto ao ângulo A, "b" o lado oposto ao ângulo B e "c" o lado oposto à C devemos fazer o desenho.

Trançando a altura "h" relativa ao lado BC (base, lado diferente) dividimos o nosso triângulo isósceles em dois triângulos retângulos. Por pitágoras calculamos o valor da altura:

h=raiz(b² - a²/4)

Com estes valores podemos encontrar cos(A/2) e sen(A/2). Olhando para um dos triângulos retângulos, temos:

cos(A/2) = h/b
sen(A/2) = a/(2b)

Utilizaremos agora a fórmula trigonométrica do co-seno do dobro de um arco:

cos(A) = cos²(A/2) - sen²(A/2)

Substituindo os valores que temos:

(raiz(5) +1)/4 = h²/b² + a²/(4b²)

Substituindo o valor de h e arrumando a equação, chegamos em:

b²(3-raiz(5))=2a²

Podemos multiplicar os dois lados por 2 e isolar a²:

a² = b²(6-2raiz(5))/4

Agora devemos notar que o termo grifado acima é o quadrado de (raiz(5)-1)/2. Substituindo:

a² = b².[(raiz(5)-1)/2]²

Extraindo a raiz quadrada positiva de ambos os lados:

a=b(raiz(5)-1)/2
2a=b(raiz(5)-1)

Como queríamos demonstrar.

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