Do enunciado, temos a seguinte figura:


Da figura, temos:
AJ = rb
AC = b

AC = AJ + JC
JC = AC - AJ
JC = b - rb
IC = JC ∴ IC = b - rb (I)

------------------

GA = rb
AB = c

GB = GA + AB
GB = rb + c
IB = GB ∴ IB = rb + c

CB = a

IB = IC + CB
IC = IB - CB
IC = rb + c - a (II)

------------------

De (I) e (II), vem que:
b - rb = rb + c - a
2rb = a + b - c
rb = (a + b - c)/2
rb = (a + b - c)/2 + (a + b + 2c)/2 - (a + b + 2c)/2
rb = (2a + 2b + 2c)/2 - (a + b + 3c)/2
rb = 2p - (a + b + 3c)/2


*************

Do enunciado, temos a seguinte figura:


Da figura, temos:
AK = rc
AB = c

AB = AK + KB
KB = AB - AK
KB = c - rc
BD = KB ∴ BD = c - rc (III)

------------------

FA = rc
AC = b

FC = FA + AC
FC = rc + b
CD = FC ∴ CD = rc + b

CB = a

CD = CB + BD
BD = CD - CB
BD = rc + b - a (IV)

------------------

De (III) e (IV), vem que:
c - rc = rc + b - a
2rc = a + c - b
rc = (a + c - b)/2
rc = (a + c - b)/2 + (a + c + 2b)/2 - (a + c + 2b)/2
rc = (2a + 2b + 2c)/2 - (a + c + 3b)/2
rc = 2p - (a + c + 3b)/2

*************

Do enunciado, temos a seguinte figura:


Seja ra o raio pedido.

Da figura, temos que:
AC = b
AL = ra

AL = AC + CL
CL = AL - AC
CL = ra - b
CP = CL ∴ CP = ra - b (V)

------------------

AB = c
AN = ra

AN = AB + BN
BN = AN - AB
BN = ra - c
PB = BN ∴ PB = ra - c (VI)

------------------

CB = a

CB = CP + PB
Substituindo (V) e (VI), vem que:
a = ra - b + ra - c
2ra = a + b + c
ra = (a + b + c)/2
ra = p