ola paulo e prof caju

esse problema me fez lembrar outro:

x^x^x^x(...) = 4
fazendo o mesmo esquema : x^4 = 4 , x = raiz 2
a maioria quando olha esses dois problemas, nao entende, pois chegam a conclusão de que 4 = 2
porêm , uma explicaçao que eu ja procurei foi que , os limites dos dois problemas são diferentes, agora eu queria saber se existe um modo de saber tão quanto eles se diferem? ou então uma outra explicação
obrigado

:confused:

Olá a todos,

Vamos pensar genericamente.

x^x^x^... = a, com "a" pertencente aos reais.

Agora vamos fazer a substituição:

x^a = a

Isolando x:

x = a^(1/a)

Note que, para dar certo a questão (intuição), para cada "x" devemos ter apenas um valor de "a" e vice-versa (relação biunívoca, função invertível). Então, o domínio (valores de "a") deve satisfazer esta condição.

Vamos então tentar desenhar o gráfico desta função, onde x é a variável dependente (eixo vertical) e "a" é a variável independente (eixo horizontal).
Derivando a função em relação a "a", temos:

x' = a^[(1/a)-2]*[1-ln(a)]

x' será ZERO quando a=e=2,7182... . Fazendo a segunda derivada, vemos que este é um ponto de máximo absoluto.
Portanto, ao desenhar o gráfico, vemos que, a partir de a=e a função x = a^(1/a) não é mais invertível, ou seja, teremos dois valores de "a" relacionados com o mesmo valor de x.

Como 4>e não é possível criar a questão proposta pelo Jack, pois a sucessão de potências NÃO irá convergir, irá divergir.

Essa análise que eu fiz foi uma análise meio "tosca" do problema, não é uma demonstração completa, mas para o nível de vestibular acho que dá pra entender e, pelo menos, aceitar.

Fico aberto a dúvidas e discussões.

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br