Olá Neo, Gandalf e Marcus,

Indetificaremos o ponto de intersecção de NA e QB como sendo R.

Como A e B são pontos de tangência na circunferência, RA = BR. Assim, os ângulos RAB e RBA são iguais (chamaremos de ângulo alfa). Note também que o ângulo APB também vale alfa (pois RAB é o caso limite quando P tende a A).

Sendo ANP e PMA ângulos retos, MAN e MPN são suplementares, ou seja, MPN = alfa.
Pelo mesmo motivo acima, MPQ = alfa.

Chamando APN = beta, isto implica que APM = alfa - beta.
Sendo APB = alfa, temos que MPB = alfa - APM = alfa - (alfa - beta) = beta.
Sendo MPQ = alfa, temos que BPQ = alfa - beta.

Com as três linhas acima, vemos que os triângulos PAN e PBM são semelhantes. O mesmo ocorre com PAM e PBQ.
Ou seja, o quadrilátero PNAM é semelhante ao quadrilátero PMBQ.

Aplicando a semelhança de quadriláteros:

PM/PQ = PN/PM

Portanto, substituindo os valores de PQ e PN encontramos PM = 6.

Atenciosamente
Prof. Caju
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