Olá João,

Primeiramente gostaria de pedir para você sempre postar a sua questão aqui no fórum. Deixe para indicar questões através de links quando for extremamente necessário (no caso de figuras geométrica é o único jeito).
Para o caso de equações algébricas (que é o caso desta sua questão), tente utilizar os códigos indicados na primeira mensagem do fórum, entitulada "INSTRUÇÕES E DICAS DE USO DO FÓRUM - LEIA ANTES DE UTILIZÁ-LO!".

No caso da sua questão, ela poderia ser escrita assim:

As raízes da equação
log(2)(x^2 - 3x + 2) - log(1/2)(x - 2) = log(2)(6) + log(2)(x^2 - 5x + 6)

têm soma igual a:

Primeiramente, vamos passar todo mundo para a base 2.

log(2)(x^2 - 3x + 2) + log(2)(x - 2) = log(2)(6) + log(2)(x^2 - 5x + 6)

Agora podemos aplicar as regras de logaritmo nas somas dos dois lados da equação:

log(2)[(x^2 - 3x + 2)(x - 2)] = log(2)[(6)(x^2 - 5x + 6)]

Agora que temos uma igualdade entre logaritmos (ambos na mesma base), podemos igualar os logaritmandos:

(x^2 - 3x + 2)(x - 2) = (6)(x^2 - 5x + 6)

Desenvolvendo esta equação e resolvendo, achamos as raízes 2, 5 e 4.

Veja que a soma destas raízes é 11, como você achou. Mas, para dar a resposta final, você deve testar cada uma das raízes na equação original e ver se elas não "quebram" a condição de existência de nenhum logaritmo:

- A raiz x=2, ao ser posta no log(1/2)(x-2) fica log(1/2)(0), que não existe. Ou seja, a raiz 2 deve ser descartada.
- Se você fizer o teste para as outras raízes não terá nenhum problema, ou seja, as raízes são 4 e 5 que, ao somá-las, temos 9.

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br