Olá Maxwell,

Os pontos pertencentes à reta y=1 são do tipo A(a, 1), e os pontos pertencentes à reta y = 3 são do tipo B(b, 3).

Estes dois pontos são alinhados com o ponto P(7,0). Portanto, podemos utilizar o critério de alinhamento entre três pontos:

| a 1 |
| b 3 |
| 7 0 |
| a 1 | O "determinante" desta matriz deve ser ZERO:

3a + 7 -b - 21 = 0
b = 3a -14

Portanto, os pontos A e B ficam sendo (em função de a):

A(a, 1) e B(3a-14, 3)

O ponto O(0, 0) é um vértice do triângulo pedido, e os outros são A e B.
Os lados do triângulo OAB possuem comprimento elevado ao quadrado dado por:

OA² = a² + 1
OB² = b² + 9
AB = (a - b)² + (1 - 3)²

A soma dos quadrados dos comprimentos dos lados é:

a² + 1 + b² + 9 + (a - b)² + (1 - 3)²

Substituindo b = 3a -14 e resolvendo, chegamos na expressão:

14a² - 140a + 406

O valor de a para o qual esta soma é mínima, é o valor de X do vértice (que neste caso é "a"). Utilizando a fórmula, temos:

a = 140 / 28 = 5

Como b = 3a -14, temos:

b = 3*5 - 14
b = 1

Atenciosamente
Prof. Caju
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