Olá hg,

Um triângulo inscrito em uma circunferência possui 2/3 de sua altura igual ao raio da circunferência circunscrito, ou seja, sendo Lt o lado do triângulo da questão:

(2/3)*altura = 1
(2/3)Lt*raiz(3)/2 = 1
Lt = raiz(3)

Um quadrado inscrito em uma circunferência possui diagonal igual ao diâmetro da circunferência circunscrita, ou seja, sendo Lq o lado do quadrado da questão:

diagonal = 2
Lq*raiz(2) = 2
Lq = raiz(2)

Um hexágono inscrito em uma circunferência possui lado igual ao raio desta circunferência, ou seja, sendo Lh o lado do hexágono da questão:

Lh = 1

Agora devemos desenhar uma circunferência com um quadrilátero inscrito. Este quadrilátero terá lados com medidas 1, raiz(2), raiz(3) e X. Sendo X o lado que ainda não sabemos.

Para descobrir X vamos achar quais os valores dos ângulos centrais de cada corda (lados do quadrilátero) que sabemos o comprimento.
Começando pela corda de comprimento 1. Como o raio tamém tem comprimento 1, esta corda forma um triângulo equilátero com o centro da circunferência, portanto, seu ângulo central mede 60°.

Na corda de comprimento raiz(3), aplicamos a lei dos cosenos no triângulo formado pela corda com o centro da circunferência para descobrir o ângulo central "a".

[raiz(3)]² = 1² + 1¹ - 2*1*1*cos(a)
cos(a) = -1/2
a = 120°

Na corda de comprimento raiz(2) aplicamos a lei dos cossenos novamente para descobrir o ângulo central "b".

[raiz(2)]² = 1² + 1¹ - 2*1*1*cos(b)
cos(b) = 0
b = 90°

Até agora temos 60°+120°+90° = 270° como soma dos ângulos centrais. Só falta o último ângulo central. Como a soma total deve ser 360°, o ângulo central que falta mede 90°. Portanto, concluímos que a corda que não sabemos ainda mede o mesmo comprimento da corda que também tem ângulo central 90°.

Assim, os lados do quadrilátero são 1, raiz(3), raiz(2) e raiz(2).

Perímetro = 1 + raiz(3) + 2raiz(2)

Atenciosamente
Prof. Caju
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