Olá Paulo,

Sabemos que:
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)

Somando estas duas equações:

sen(a+b) + sen(a-b) = 2sen(a)cos(b)

Podemos aplicar esta "fórmula" na questão.

a + b = 5x
a - b = x

Portanto:

a = 3x
b = 2x

Podemos então escrever:

sen(3x + 2x) + sen( 3x - 2x) = 2sen(3x)cos(2x)

sen(5x) + sen(x) = 2sen(3x)cos(2x)

Que é a expressão que queremos.
Note que, sendo o cos uma função PAR, podemos escrever também:

sen(5x) + sen(x) = 2sen(3x)cos(-2x)

Sendo sen uma funão ímpar, podemos escrever também:

sen(5x) + sen(x) = -2sen(-3x)cos(2x)

Ou seja, a resposta final é:

k= 2, m = 3, n = ±2

ou então

k = -2, m = -3, n = ±2

Atenciosamente
Prof. Caju
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