Olá hq,

Depois de fazer o desenho fazemos algumas afirmativas.

Sendo um triângulo retângulo em A, podemos escrever Pitágoras:

(1) a² = b² + c²

E calculamos o cosseno do ângulo ACB:

(2) cos(ACB) = b/a

O lado PC pode ser obtido fazendo BC - BP:

AC = a - (c+b)(c-b)/a

(3) AC = (a² - c² + b²)/a

Substituindo (1) em (3)

AC = 2b²/a

Chamando o lado AP = x, podemos aplicar a lei-dos-cossenos no triângulo ACP em relação ao ângulo ACP:

(4) x² = (2b²/a)² + b² - 2*(2b/a)*b*cos(ACB)

Substituindo a equação (2) na (4), temos:

x² = (2b²/a)² + b² - 2*(2b/a)*b*(b/a)

desenvolvendo:

x² = 4b^4/a² + b² - 4b^4/a²

x² = b²

x = b

Portanto, o perímetro do triângulo APC é

AP + PC + AC = b + 2b²/a + b
= 2b + 2b²/a
= 2b(1 + b/a)
= 2b(a+b)/a

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br