Olá user7,

Pelo teorema do resto, podemos escrever que P(1) = R_1 e P(-1) = R_2.

Pelo algoritmo da divisão sobre a divisão de P(x) por x² - 1, podemos escrever:

Q(x)*(x²-1) + R(x) = P(x), onde o resto R(x) é de primeiro grau (um grau abaixo do divisor). Ou seja, podemos escrever R(x) = ax+b, onde a e b são os coeficientes reais de R(x).

Q(x)*(x²-1) + ax + b = P(x)

Substituindo o valor de P(1) encontrado anteriormente:

Q(1)*(1² - 1) + a + b = P(1)
a + b = R_1

Substituindo o valor de P(-1) encontrado anteriormente:

Q(-1)*((-1)² - 1) - a + b = P(-1)
-a + b = R_2

Resolvendo o sistema de equações formado pelas duas equações em negrito acima temos:

b = (R_1 + R_2) / 2
a = (R_1 - R_2) / 2

Ou seja, R(x) = x*(R_1 - R_2) / 2 + (R_1 + R_2) / 2
onde temos que R(0) = (R_1 + R_2) / 2

Atenciosamente
Prof. Caju
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