Olá Mawapa,

Como é dito que o resto da divisão de p(x) por x-2 é 36, podemos utilizar o teorema do resto e dizer que p(2) = 36:

p(2) = 2*2^4 + 3*2^3 - 4*2^2 + d*2 + e = 36
32 + 24 - 16 + 2d + e = 36
2d + e = -4

Guardamos esta equação e pensamos na informação sobre a soma dos inversos das raízes. Digamos que as raízes são A, B, C e D. A soma dos inversos é:

1/A + 1/B + 1/C + 1/D = 3/2

Efetuando o MMC no lado esquerdo da equação:

(BCD + ACD + ABD + ABC) / ABCD = 3/2

Veja que os valores que estão no denominador e no numerador do lado esquerdo da equação acima são valores que encontramos utilizando as relações de Girard para o polinômio dado.
O numerador é a soma dos produtos três a três das raízes, ou seja, no polinômio dado isto é BCD + ACD + ABD + ABC = -d/2, e o numerador é o produto das raízes, ou seja, ABCD = e/2. Substituindo estes valores na última equação:

(-d/2)/(e/2) = 3/2
-d/e = 3/2
3e + 2d = 0

Portanto, com as duas equações em negrito acima, temos um sistema linear:

2d + e = -4
2d + 3e = 0

Resolvendo encontramos:

e = 2
d = -3


Atenciosamente
Prof. Caju
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