Oi Alessandra!
bom.. vou arriscar alguma coisa. =P

essa seqüência pode ser escrita dessa forma:

(10 - 1)/9 + (10^2 - 1)/9 + (10^3 - 1)/9 ... + ... (10^n - 1)/9

como todos os termos são divididos por 9, vamos colocá-lo em evidência

1/9*[10 -1 + 10^2 - 1 + 10^3 -1 ... + ... 10^n - 1 ]

note que o 10 + 10^2 + 10^3.... etc, forma uma P.G de razão 10,
e tb o número -1 é somado 'n' vezez.

então usando a soma dos termos de uma PG

Sn= a1(q^n -1)/q-1

primeiro termo = a1 = 10
razão = q = 10

1/9*[ 10.(10^n - 1)/9 - n]

T+