Olá...achei o problema complicadíssimo..Bolei aqui uma resolucao bem trabalhosa...vai la..

Façamos primeiramente o segmento AD......admita q o "H" seja o ponto de encontro do segmento BD com sua perpendicular passando por "C"..  

Agora admitamos para os angulos CDB=r, BDA=s , consequentemente angulo CBD=r+s (condiçao do problema)

Admitamos ainda: (angulos) BCH=t, HCD=u, ABD=v

Do triangulo HBC: r+s+t=90º  (i)

Do triangulo HCD: u+r=90º  (ii)

De (i) e (ii) concluimos q   u=s+t

Analisando os arcos vemos q     arc BAD - arc BA = arc AD, entao t+(t+s)-s=v    assim v=2t

Agora façamos tambem o segmento AC. VEja q o triangulo ACD eh isoceles pois   arc CD= arcAB+ arcBC   (do enunciado)...

Atribuiremos as seguintes icognitas aos segmentos: BC=e, CD=f, CH=g

Por lei dos cossenos no triangulo ABC vem:      f^2 = 3^2 + e^2 - 2*3*e*cos(t+t+r+s)

Ora, f^2 = x^2+ g^2......e.....e^2 = 4^2 +g^2......e.......t+r+s=90º

Entao:  x^2 + g^2 = 3^2 +4^2 + g^2 +2*3*e*sen(t)

Como sen(t)=4/e,vem:

x=7

Ufa..realmente ficou muito doido..vlw..flw..