TRIÂNGULOS

ATREYU · Veteran Member

TRIÂNGULOS

ednardodantas · Veteran Member

Questao 1 ...

Seja : AB = a , AC = b e BC = c

Como o triangulo ABC é retângulo então c^2 = a^2 + b^2

Como G é centro de gravidade do triangulo ABC temos que a medida de AG é 2/3 da medida da mediana relativa ao lado BC do triangulo ABC ... Mas a Mediana relativa ao lado BC do triangulo ABC é metade da hipotenusa logo temos que AG = (2/3).c/2 = c/3 analogamente temos que HG_1 = a/3 e HG_2 = b/3 Assim (AG)^2 = (c/3)^2 = (c^2)/9 = (a^2 + b^2)/9 = (HG_1)^2 + (HG_2)^2

ednardodantas · Veteran Member

Questao 2

Seja : AB = AC = b , BC = a

o ponto D sobre AC tal que BD = BC , o ponto E sobre AB tal que ED = BD = BC , o ponto F sobre AC tal que EF = ED = BD = BC

Calculando os angulos no problema obtemos : ACB = ABC = BDC = 80 , EBD = EDB = BED = 60 , FED = 100 , EFD = FDE = 40 , DBC = EAF = AEF = 20 assim concluimos que o triangulo BED é equilatero logo EB = ED = BD = a e que o triangulo AFE é isosceles logo AF = EF = a

Pela Lei dos Senos em ABC temos que : a.sen(80) = b.sen(20) -> a.cos(10) = b.2.sen(10).cos(10) -> sen(10) = a/(2.b)

Pela lei dos Senos em AFE temos que : (b - a).sen(140) = a.sen(20) -> (b - a).sen(40) = a.sen(20) -> (b - a).2.sen(20).cos(20) = a.sen(20) -> cos(20) = a/[2.(b - a)]

Mas cos(20) = 1 - [sen(10)]^2 assim a/[2.(b - a)] = 1 - [a/(2.b)]^2 resolvendo ficamos com

a^3 + b^3 = 3.a.b^2