AI vai outra questao :
Prove que se a função f : R -> R / f(x^2) - [f(x)]^2 >= 1/4 , então f nao pode ser injetora ...
Caro Ednardo,
sabemos que F(x^2) - F(x)^2 = 1/4 então
F(x^2) = 1/4 + F(x)^2 então F(x^2) >= 1/4
Agora isolemos F(x): F(x)^2 = F(x^2) - 1/4 então
F(x) = sqtr( F(x^2) - 1/4 ) como F(x^2) >= 1/4, temos:
F(x) >= 0 para todo x pertencente aos Reais.
Sendo assim, F(x^2) >= F(x)^2 + 1/4 então
F(x^2) >= F(x)^2 como F(x) >= 0, temos:
F(x^2) >= F(x)
Façamos x <= (-1) temos:
F(x^2) >= F(x) como x^2 >= x então a função é crescente (ou não decrescente, para os mais rígidos...)
Agora façamos 0 <= x <= 1 temos:
F(x^2) >= F(x) como x^2 <= x então a função é decrescente (ou não crescente...)
Logo, a função não pode ser classificada quanto à monotonicidade ( ora cresce, ora decresce ). Portanto, a Função não pode ser injetora.
Abração, Ednardo. Bons estudos ai no ITA.