Ressucitando problemas - Matemática para o Vestibular

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TOPIC: Ressucitando problemas

Marcus Moura

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Data: Mar 8, 2005

Ressucitando problemas	Link permanente Closed

* O problema do "Mulder" era http://img150.exs.cx/img150/9895/algarismodasunidades4mc.gif * Me passaram a seguinte soluçao: (estou disponibilizando a titulo de curiosidade) Observe que $a+b=6$ e $ab=1$ . Então a seqüência $R_n$ satisfaz a recorrência $R_{n+2}=6R_{n+1}-R_n$ . De fato, toda seqüência do tipo $R_n=k(a^n+b^n)$ satisfaz a recorreência $R_{n+2}=(a+b)R_{n+1}-abR_n$ (para verficar é só subsitituir!). Considere agora a seqüência $r_n$ , obtida considernado $R_n$ módulo 10. Utilizando a recorrência facilmente calculamos os termos desta nova seqüência, que será periódica (por que?). Temos $r_0=1, r_1=3, r_2=7, r_3=9, r_4=7, r_5=3, r_6=1, r_7=3, r_8=7,\ldots$ e segue que $R_{n+6}=r_n$ , para todo $n$ . Portanto, $r_{12345}=r_3=9$ __________________

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