A reta y=mx tem coeficiente angular "m" e coeficiente linear 0, portanto, passa na origem.
Devemos lembrar que coeficiente angular nada mais é do que o valor da tangente do ângulo que a reta forma com o semi-eixo positivo dos x no sentido anti-horário. Digamos que a nossa reta forma um ângulo "a". Portanto:

tan(a) = m

A reta bissetriz pedida também passará na origem, portanto, o coeficiente linear da equação que a representa será 0 também. Sendo assim, devemos apenas descobrir qual o coeficiente angular.
O ângulo que a reta bissetriz forma com o semi-eixo positivo dos x é metade de a, ou seja, a/2. Portanto, o resultado que queremos é tan(a/2)

Lembrando da fórmula:

tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

Substituindo x por a/2

tan(a) = 2tan(a/2) / (1 - tan²(a/2))

Para facilitar, vamos substituir tan(a/2) = K e tan(a) = m.

m = 2K / (1 - K²)

mK² + 2K - m = 0

Aplicando Báscara, teremos:

K = -1 ± raiz(1 + m²)

Trocando K=tan(a/2)

tan(a/2) = -1 ± raiz(1 + m²)

No enunciado podemos concluir que a reta bissetriz é crescente, portanto, seu coeficiente angular é positivo, ou seja, só podemos utilizar o sinal positivo. Portanto:

tan(a/2) = -1 + raiz(1 + m²)

Portanto, a equação da reta:

Y = [-1 + raiz(1 + m²)]x

Atenciosamente
Prof. Caju
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