Olá Rafael

O enunciado está errado. A pergunta do Jack é pertinente. Mas é fácil arrumar o enunciado, veja abaixo:

E e D são os centros das circunferências inscrita e ex-inscrita no ângulo  de um triângulo ABC. Demonstre que AE*AD = b*c
OBS: b = lado oposto ao ângulo B
c = lado oposto ao ângulo C

Com este novo enunciado, lhes mostro a solução que encontrei. Para acompanhar, pegue um lápis e um papel para fazer os desenhos com os nomes dos pontos que eu vou mostrando na solução. Sem estas anotações é impossível acompanhar o raciocínio...

Primeiro, algumas considerações sobre algumas propriedades do desenho do enunciado: os pontos A, E e D são colineares sobre a bissetriz de Â. Os ângulos ECD e EBD são 90°.

Criamos o ponto M, médio de E e D e desenhamos a circunferência C1 com centro em M e raio MD. Como o triângulo EBD é retângulo em B, este está inscrito em C1 e, portanto, o ponto B pertence a C1. Com o mesmo raciocínio concluímos que o ponto C também pertence a C1.

Até o momento, o desenho que temos é: http://www.cursinho.hpg.com.br/images/forum/exinscrito.html

Chamaremos o outro ponto em que C1 corta a reta suporte de AB de ponto F. E o outro ponto em que C1 corta a reta suporte de AC chamaremos de ponto G.

Por construção temos que os ângulos BMF e GMC são iguais, portanto, os comprimentos BF e GC são iguais. Chamaremos BF=GC=k.

Por potência de ponto sobre a circunferência C1 podemos escrever a igualdade:

c*(c + k) = b*(b - k)
c² + ck = b² - bk
k(b + c) = b² - c²
k(b + c) = (b - c)(b + c)

k = b - c

c + k = b

Novamente, por potência de ponto sobre C1, podemos escrever:

AE * AD = c * (c+k)

Substituindo o valor de c+k encontrado anteriormente, temos:

AE * AD = c * b   Como queríamos demonstrar.

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br