Olá S10MaNiAc

Quando falamos poliedro convexo, estamos nos referindo a uma superfície poliédrica convexa fechada, que é a mais usual, por isso não precisamos nos referir à característica fechada. Agora, quando falamos em superfície poliédrica convexa aberta, estamos falando do mesmo poliedro da primeira situação só que sem UMA das faces, por isso aberta.

Para as fechadas temos: V + F = A + 2
Para as abertas temos: V + F = A + 1

Onde V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de arestas do poliedro.

PRIMEIRA QUESTÃO

É dado que F=15, portanto: V +15 = A + 2

V = A - 13 equação (1)

Agora vamos contar as arestas olhando pelos vértices. De dois vértices partem 5 arestas, então contamos 10. De quatro vértices partem 4 arestas, então contamos 16.
Sendo V o número total de vértices, então nos faltam V-2-4 vértices, que partem 3 arestas, ou seja, contamos (V - 2 - 4)*3 arestas. Portanto, já contamos

10 + 16 + (V - 2 - 4)*3
3V + 8

Só que este número não é o total de arestas, e sim o dobro do total de arestas. Visualize a situação e veja que cada aresta está sendo contada exatamente duas vezes. Assim, podemos escrever a equação:

3V+8 = 2A

Substituindo o valor da equação (1) temos:

3(A-13) + 8 = 2A
A=31

SEGUNDA QUESTÃO

Agora é só utilizar a fórmula V+F=A+1
8+6=A+1
A = 13

Atenciosamente
Prof. Caju
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