Partimos do fato de que todo numero inteiro pode ser classificado em uma das seguintes nove classes:

9k
9k+1
9k+2
9k+3
9k+4
9k+5
9k+6
9k+7
9k+8

Ao escolher seis números, poderemos cair em duas situações. A primeira é a melhor de todas, a situação em que iremos pegar dois números da mesma classe. Por exemplo, se pegarmos os números 9q+3 e 9k+3, fica fácil de ver que a diferença entre eles é divisível por nove.

Agora, a segunda situação é quando pegarmos seis números de classes diferentes.

Veja que, se tivermos, entre os seis, algum dos seguintes pares, a soma deles será divisível por nove:

9k+1 e 9k+8
9k+2 e 9k+7
9k+3 e 9k+6
9k+4 e 9k+5

Dentre as nove classes, escolhendo seis, sobrarão três. Veja que sempre será possível ter um dos quatro pares acima descritos, pois, no máximo, excluiremos três delas. Ou seja, nesta segunda situação teremos dois números que, somados, resultará um número divisível por nove.

Atenciosamente
Prof. Caju
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