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Caso eu tenha interpretado corretamente, nós temos a seguinte situação:

Sendo assim, para que os pontos P, R e Q estejam alinhados, é necessário que sejam respeitadas as seguintes condições:

Triângulos PQJ e PRT semelhantes -> PR/PQ = h3/h2

Teorema de Menelaus: (AQ/AC)*(BC/BR)*(PR/PQ) = 1

Observando que os triângulos ACN e AJQ são semelhantes, temos: AQ/AC = h2/h1 (I)

Pelos mesmos critérios, comparamos BRT e BCN: BC/RB = h1/h3 (II)

Agora, voltando ao Teorema de Menelaus, vereficamos que somente não conhecemos PR/PQ. Então, multipliquemos AQ/AC e BC/BR por um número qualquer x e igualemos a 1, a fim de encontrarmos a fração que corresponde a essa igualdade e, assim, encontrarmos o ponto alinhado a Q e a R. 

Com esse procedimento encontraremos x = h3/h2.

Logo, para que esse triângulo possa realmente ser fechado, necessariamente h3/h2 deve ser igual a PR/PQ (basta observar a figura).

 Agora, falta somente provar que o ponto P, que está na figura, realmente foi gerado do modo como indica o enunciado do problema.

Para fazer isso você deve observar os ângulos da figura. De início, lembre - se de que segmentos de retas tangentes partindo do mesmo ponto têm a mesma medida. Após isso, procure os ângulos PRT e PQJ. Se eles forem iguais(e são) estará provado que as condições para existir alinhamento foram satisfeitas.

Tente fazer isso sozinho e, havendo algum problema, eu posto a resolução completa com mais detalhes.

ps: peço que alguém confira a resolução e, se necessário abra uma discussão a respeito.