Das fórmulas:
b² + c² = a² (1)
a*h = b*c (2)

Dados do problema:
p = 30
h = 60/13
como o perímetro é a soma dos lados de qualquer figura, então:

p = a + b + c
30 = b + c + a, dessa maneira:
b + c = 30 - a (3), elevando ambos os membros ao quadrado, fica:
(b + c)² = ( 30 - a)², desenvolvendo, temos:
b² + c² + 2 bc = 900 - 60a + a², arrumando:
b² + c² = 900 - 60a + a² - 2bc (4)

fazendo: (4) = (1)

900 - 60a + a² - 2bc = a²
900 - 60a - 2bc = a² - a²
900 - 60a - 2bc = 0, substituindo b*c por a*h de (2), temos:
900 - 60a - 2*a*h = 0, dividindo tudo por 2 para facilitar os cálculos:
450 - 30a - a*h = 0, como h = 60/13, vem então:
450 - 30a - a*60/13 = 0, reduzindo ao mesmo denominador:
450*13 - 390a - 60a = 0
- 450a = - 450*13 *(- 1)
450a = 450*13, logo:
a = 13

de (3) vem que:
b + c = 30 - a, então:
b + c = 30 - 13
b + c = 17 (5)

de (2) vem que:

a*h = b*c
b*c = 13*60/13
b*c = 60 (6), temos então o sistema:

b+ c = 17 (5)
b*c = 60 (6),

isolando b ou c em (5), fica:
c = 17 - b, substituindo em (6), fica:

b*(17 - b) = 60
17b - b² - 60 = 0 *(- 1)
b² - 17b + 60 = 0, usando Baskara, encontramos:

b' = 5, e
b" = 12, portanto se em (5) substituirmos b' e b", encontraremos:

quando b for 5, c será 12
quando b for 12, c será 5, dessa maneira os catetos são:

5 e 12

OUTRA MANEIRA

Como:
a*h = b*c, então:
h = (b*c)/a, mas h = 60/13, então:
60/13 = (b*c)/a, donde se conclui pela igualdades das proporções que:
b*c = 60 ( P ), e
a = 13

com ainda:
a = p – b – c, então:
a = 30 – b – c, melhorando a equação:
b + c = 30 – a
b + c = 30 – 13
b + c = 17 ( S )

Como temos a SOMA S e o PRODUTO P DAS RAÍZES de uma equação do segundo grau cujas raízes são b, c pode ser escrita

X² - Sx + P = 0, onde
S = b + c e
P = b*c

Dessa maneira montamos a seguinte equação do segundo grau:
X² - 17x + 60 = 0, que por intermédio de Baskara encontramos:

x’= 5 e
x” = 12, que são na realidade os catetos desse triângulo retângulo.