Os dossiês

paulo testoni · Guru

Os dossiês

F u r u y a · Veteran Member

Espaço amostral (E):
E = 12!

Número de formas (N) em que os dossiês de habitação estão na mesma prateleira:
N = 6!*6! + 6!*6! = 2*(6!)²

Logo, o número de formas (R) em que os dossiês de habitação não estão juntos é de:
R = E - N
R = 12! - 2(6!)²

Confere?

paulo testoni · Guru

Hola Furuya.

A única restrição é que, em cada uma das 2 prateleiras NÃO podem
ficar os 4 dossiês do ramo habitação (H).

Vamos montar somente a 1ª prateleira: o que restar vai para a 2ª.

Temos três opções:

a) 3 dossiês H na 1ª prateleira:

Os 4 dossiês do ramo habitação (H) devem ser combinados 3 a 3 ====> n3 =
C(4,3) ===> n3 = 4
Só como curiosidade a 1ª prateleira ficaria com estes possíveis dossiês
H : H1H2H3, H1H2H4, H1H3H4, H2H3H4
Resta espaço na 1ª prateleira para colocar 3 dossês de um total de 9
dossiês restantes: n'3 = C(9,3) ===> n'3 = 84
N3 = n3*n'3 ===> N3 = 4*84 ===> N3 = 336

b) 2 dossiês H na 1ª prateleira:

Os 4 dossiês do ramo habitação (H) devem ser combinados 2 a 2 ====> n2 =
C(4,2) ===> n2 = 6
Só como curiosidade a 1ª prateleira ficaria com estes possíveis dossiês
H : H1H2, H1H3, H1H4, H2H3, H2H4, H3H4
Resta espaço para colocar 4 dossiês de um total de 10 dossiês restantes:
n'2 = C(10,4) ===> n'2 = 210
N2 = n2*n'2 ===> N2 = 6*210 ===> N2 = 1.260

c) 1 dossiê H na 1ª prateleira: n1 = C(4,1) ===> n1 = 4 ===> n'1 =
C(11,5) ===> n'1 = 462 ===> N1 = 1.848

Total: N = N1 + N2 + N3 ====> N = 2.394

Feito por Elcio Fonseca.

-- Edited by paulo testoni at 16:17, 2006-02-20

F u r u y a · Veteran Member

Olá paulo testoni,

Creio que haja alguns erros nessa resolução, veja se concorda:

1) item a): "Resta espaço na 1ª prateleira para colocar 3 dossês de um total de 9 dossiês restantes: n'3 = C(9,3)"
Na verdade temos um total de 8 dossiês restantes, e não 9, pois desses 9 temos 1 que é um dossiê de habitação. O mesmo ocorre nos itens b) e c), onde também devemos considerar apenas 8 dossiês disponíveis.

2) O resultado deveria ser multiplicado por 2, pois só foi considerado uma prateleira, mas tudo o que ocorre numa pode ocorrer noutra.

3) Neste erro pode haver discussões:
Eu creio que a ordem importa. Pois se o que está em jogo são prateleiras, creio que pressuponha-se ordem nelas. Então deveríamos usar permutações simples, e não combinações simples.

* Ao notar esses erros, acabei por achar um erro na minha resolução também:
Eu deveria ter subtraído, além dos casos com os 4 dossiês, os casos com nenhum dossiê, pois nesse último caso a outra prateleira estaria com os 4 dossiês de habitação. Além disso, fiz o cálculo de N totalmente errado :biggrin: *

Feitas essas correções, teríamos as seguintes respostas:

1ª) (Considerando que a ordem não importa)
O espaço amostral (E) é:
E = 2*C(12,6) = 1848

Tudo o que não podemos ter é prateleiras com os 4 dossiês ou sem os 4. O número (N) que representa esses eventos é:
N = 2*[ C(8,2) + C(8,6) ] = 112
- 8 dossiês para 2 vagas (as outras 4 estão com os 4 de habitação) ou 8 dossiês para 6 vagas (para que a prateleira fiquei sem nenhum de habitação)

Logo, a resposta (R) do problema é:
R = E - N
R = 1848 - 112
R = 1736

2ª) (Considerando que a ordem importa)
Espaço amostral (E):
E = 2*12!

Número de formas (N) em que os dossiês de habitação estão na mesma prateleira:
Temos 4 desses dossiês que são eventos certos, e que podem ficar em 4! ordens diferentes;
Restam 2 vagas para 8 dossiês, o que nos dá 8*7 = 56 ordens diferentes;
Finalmente, as 4 primeiras vagas que contém os dossiês de habitação podem permutar com as outras 2, ou seja, temos P6(4,2) = 6!/(4!*2!) = 15. Portanto, N = 2*(4!*56*15).

Número de formas (N') em que não há dossiê algum numa mesma prateleira:
N' = 2*(8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3) = 2*40320

Logo, a resposta (R) do problema é:
R = E - (N + N')
(deixei indicado pois ficará um número gigantesco)

*FIM*
:dead:

paulo testoni · Guru

Hola Furuya.

Hélio Carvalho, disse:

Podemos ter 1 numa prateleira e os outros 3 na segunda; ou 2 e 2 ou 3 e 1.

C4,1 . C8,5 + C4,2 . C8,4 + C4,3 . C8,3

Charles Maciel, disse:

Valeu pela resolução mas acho que ñ está correto.

Esqueci de colocar a resposta. A resposta é 449971200.

De qualquer jeito Mto Obrigado.

Hélio, disse:

Quando você escolhe H1 para a primeira prateleira sobram 8 para colocar em grupos de 5., e assim por diante. Veja que, quando se escolhe os 6 da primeira prateleira os 6 da segunda ficam determinados. Por isso, a resposta que passou não está correta. O valor apresentado é da ordem de grandeza de 12!.

Charles, disse:

Valeu Hélio,

Conferi a resposta e está correta a que eu postei, é meio dificil estar errada pois a questão saiu em um exame final.

Abraços

paulo testoni · Guru

Hola Furuya.

Paulo:

Concordo com a solução do Furuya, principalmente quanto a eu ter
colocado erradamente C(9,3); C(10,4) ; C(10,5)

O correto deveria ser C(8,3) = 56, C(8,4) = 70 e C(8,5) = 56

Seguindo o meu raciocínio anterior teríamos:

N3 = 4*56 = 224
N2 = 6*70 = 420
N1 = 4*56 = 224

O total, considerando apenas a 1ª prateleira seria: N = 224 + 420 + 224
===> N = 868

Considerando as duas prateleiras: N' = 2*868 ====> N' = 1736 ===> mesma
solução do Furya

Quanto a ordem importar, é discutível: o enunciado deveria ter deixado
isto claro.

Elcio

F u r u y a · Veteran Member

Consegui!!!

Antes postar a resolução, quero dizer que pela ordem de grandeza da resposta dada pelo Charles Maciel, vemos então que, de fato, a ordem importa.
A resolução abaixo é a mesma da que eu propus na mensagem postada pelo Paulo Tetsoni (a 2ª resolução), ou seja, utiliza o mesmo raciocínio só desta vez sem os erros, que explicitarei todos abaixo.

2ª) (Considerando que a ordem importa)
Espaço amostral (E):
E = 12! = 479001600
Aqui eu errei em multiplar o espaço amostral por 2, já que quando consideramos 12! para as 12 vagas, já estão incluídos, sim, os casos "espelho", ou seja, aqueles casos que seria como se apenas mudássemos os armários de posição.

Número de formas (N) em que os dossiês de habitação estão na mesma prateleira:
Temos 4 desses dossiês que são eventos certos, e que podem ficar em 4! ordens diferentes;
Restam 2 vagas para 8 dossiês, o que nos dá 8*7 = 56 ordens diferentes;
As 4 primeiras vagas que contém os dossiês de habitação podem permutar com as outras 2, ou seja, temos P6(4,2) = 6!/(4!*2!) = 15;
Nas outras 6 vagas do outro armário, nos restam 6! possibiildades;
Portanto, N = 2*(4!*56*15*6!) = 29030400
Aqui, eu não havia considerado as 6! possibilidades que poderia combinar com as 4!*56*15 possibilidaes do outro armário.

Com a correção do cálculo acima, não precimos mais calcular N', já que na conta acima multipliquei tudo por 2, portanto os casos em que não há nenhum dossiê de habitação já está sendo considerado.

Logo, a resposta (R) do problema é:
R = E - N
R = 479001600 - 29030400
R = 449971200