Dúvida em P.A.

paulo testoni · Guru

Dúvida em P.A.

F u r u y a · Veteran Member

Creio que o Bruno esteja correto, pois se não é dada a razão, não sabemos quais são os números em questão. É como se fosse que alguém pedisse pra vc dizer se o número x é par, mas sem dizer o valor de x. Nada podemos dizer a respeito.

caju · Prof.

Olá Paulo

Esta questão não está das melhores no enunciado. Mas o erro não é a questão de não dar a razão da P.A.
O problema tá em não ter dito que a_n é o último termo. A resolução que eu vou traçar leva em consideração isso. Ou seja, faz de conta que foi dito que o último termo da P.A. é a_n.

Muitos devem estar pensando "mas é óbvio que é o último termo". É por causa desta idéia que não conseguimos achar a resolução. Para resolvê-la devemos nos desvencilhar desta idéia. Vejam comigo.

Vou resolver uma parte da questão (a parte fácil) e deixo o resto para vocês quebrarem a cabeça (é que a segunda parte é muito mais difícil, mas leva em conta o mesmo raciocínio).
Calcularei a quantidade de termos da P.A. dada que são múltiplos de 5.

Sendo a_1=1000 e a_n=10000, vamos calcular a razão usando a fórmula de PA:

10000=1000+(n-1).r
r=9000/(n-1)

Veja que a razão ficou em função de "n", mas não tem problema, "n" é um dado do enunciado e nada foi dito que o impeça de ser utilizado.

Os múltiplos de 5 entre 1000 e 10000 seguem uma PA de razão 5 com a_1=1000 e a_u=10000 (note que aqui não utilizei o índice "n" pois estaria sobrecarregando o indicador, ou seja, estaria utilizando ele em duas partes distintas da solução, por isso utilizei "u"). Neste caso, u=1801 (como já calculado pela resolução do Paulo).

Agora temos que achar os termos que são comuns às duas P.A. Uma de razão 5 e outra de razão r=9000/(n-1).
Fatorando 9000=3^2*2^3*5^3, vemos que "r" tem grande chance de ser um múltiplo de 5. Então devemos verificar ambos os casos:

1° Caso => r é múltiplo de 5 => n-1(5^3)*K, onde K representa um número inteiro qualquer.
o sinal significa "diferente"

Neste caso temos "n" elementos (todos) de nossa P.A. divisíveis por 5. Não é um resultado interessante.

2° Caso => r não é múltiplo de 5 => n-1=(5^3)*K, onde K=inteiro.

Sendo "r" não múltiplo de 5, os termos da PA dada que são multiplos de 5 serão os termos da P.A. com a_1=1000, a_q=10000 e r=5*9000/(n-1). Agora o objetivo da questão é descobrir q.
Utilizando a fórmula de PA:

10000=1000+(q-1)*45000/(n-1)

q=(n+4)/5

Ou seja, na PA do enunciado temos (n+4)/5 termos divisíveis por 5. Como é pedido os não divisíveis, temos n-(n+4)/5, ou seja, 4*(n+1)/5.

O restante da solução seria encontrar os divisíveis por 7 e somar com os divisíveis por 5, depois retirar os divisíveis por 35.

Agora, para encontrar os divisíveis por 7, só consegui visualizar utilizando Teoria dos números bem rebuscada (pelo menos pra mim, se alguém terminar esta solução, agradeço).

Aberto a discussões ;-)

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

Motorpain · Newbie

cara essa questao é ridicula! pra que complicar tanto?!

a razão é o fator de divisibilidade!!!!!!!!!!

multiplos de 5 - como 1000 e 10000 ja sao multiplos naturais de 5 basta aplicar o termo geral de uma P.A - 10000 = 1000 + (n-1)x5 então 5n = 9005 então são 1801 multiplos de cinco.

multiplos de 7 - 1000 nao é multiplo de 7 portanto precisamos achar o primeiro multiplo de 7 a partir de 1000. Basta dividir 1000 por 7 voçê encontra 142 de quociente e 6 de resto. Agora para achar o primeiro multiplo multiplique 142 por 7 e dara 994 que é multiplo de 7 agora some com 7 e pronto 1001 é o primeiro termo... Fazendo o mesmo com o 10000 encontramos que o ultimo multiplo é 9996. pronto! 9996 = 994 + (n-1)x7 logo são 1287 multiplos.

Porém a questão pede quais nao sao multiplos de 5 e 7 , portanto temos que considerar os multiplos do produto de 5 e 7 e subtrai-los dos demais e nao soma-los como o amigo fez acima pois dentre esses numeros existem repeticoes entao vc estaria somando duas vezes o mesmo algarismo com as mesmas multiplicidades.

dividindo 1000 por 35 temos um quociente igual a 28 e resto 20. multiplicando 28 por 35 e adicionando 35 temos 1015 que é o primeiro termo. 10000 por 35 encontramos o ultimo multiplo ou seje 9975. 9975 = 980 + 35n ou seje 257 multiplos.

Agora encontramos os multiplos de 5 ou de 7 fazendo: 1081 + 1287 - 257 = 2111

Encontrando o total de algarismo entre 1000 e 10000 encontramos - 9001 algarismos.

E finalmente basta fazer - 9001 - 2111 = 6890 algarismos que nao são multiplos de 5 nem de 7.

É uma questão simples mais cheia de calculos extremamente trabalhosos e facil de errar.

Recentemente me deparei com questões desse tipo e sinceramente resolver por PA é muito complicado... alguem tem alcuma sugestão?

JF

caju · Prof.

Olá Motorpain

O erro cometido por você foi o mesmo cometido por quase todo mundo que tentou fazer esta questão. Você interpretou como se não fosse dito que a seqüência era uma P.A.
Mas os outros tiveram um pouco mais de humildade em suas resoluções.

O enunciado é claro: é uma PA! E não é dada a razão explicitamente!
Você não pode sair inferindo que a razão é o fator de multiplicidade (no caso 5 e 7) e resolvê-la como se o enunciado fosse:

"Entre os números 1000 e 10000 quantos não são divisíveis por 5 e 7?"

Interprete melhor as questões antes de sair aloprando em cima dos outros.
Várias pessoas ficaram bastante tempo em cima desta questão e merecem um pouco mais de respeito.

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

paulo testoni · Guru

Estimado Caju.

Muito obrigado pela suas palavras, agora já posso dormir sossegado, pois me sinto um pouco confortado.

Um abraço.

Motorpain · Newbie

ai meu deus... cara presta atenção... caiu uma questão identica na fuvest é só vc acompanhar a resolução q varios cursos apresentaram... agora vamos dar uma de iluministas e vamos pensar... faz sentido dar uma pa de razão 18 e pedir os multiplos de 7? não acho q nao...

quando vc diz nao sao multiplos de 5 e nem de 7 uma das maneiras de resolver é achar a quantidade de multipos de cada uma por meio de uma pa por exemplo. porem entre esses multiplos ocorrem repetições simultaneas e basta retirar os multiplos do produto...

agora pra ver como vc esta fazendo literalmente uma tempestade em um copo d'agua por nada

conte comigo sem usar pa... de 2 a 10 quantos nao são multiplos de 2 e nem de 3?

vamos escrever todos os elementos para facilitar - 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 e 10

multiplos de 2 - 2 , 4 , 6 , 8 e 10 ou seje 4... que equivale a montar uma pa de razão 2... 10 = 2 + (n-1)x2 então n = 4.

multiplos de 3 - 3 , 6 , e 9 então são 3 - ou 9 = 3 +(n-1)xR ... 3....

mas repare que tem em comum o fator 6... portanto achando os multiplos simultaneos temos apenas 1...

portanto os que nao sao divisiveis nem por 2 ou por 3 são - 5 e 7... ou seje 2 e que equivale a fazer (4 + 3) -1 = 6 e retirar do total de 8... 8-6=2...

como não deu a razão cara... acorda... vc é realmente professor? saia contando a minha resposta e vc vai ver... esse tipo de questão meu professor mostrou como primeira aula de pa no meu primeiro ano de colegial... e seu eu nao fosse bom nao seria do departamento de fisica da UFMG... preste be matenção antes de falar bobagens seu troxa

Motorpain · Newbie

ah.. pra encerrar ja que eu nao vou mais falar aqui... fiquei com medo de que nao entendesse por que eu coloquei 4 multiplos pois provavelmente vc contou 5... mas... hehe... dentre 2 , 4 , 6 ,8 e 10 devemos desconsiderar a propria razão pois seria mais um numero a mais...

espero que vc tenha aprendido... e nao fui apenas eu que resolvi essa questão todos os colegas de quarto tambem...

boa sorte e espero que aprenda a contar...

Caio Santos · Veteran Member

olá sou novo por aqui sem querer encontrei o forum e gostaria de ajudar. Esse motorpain é um cara bem nervoso hein. mas o que ele falou realmente tem sentido pois dizer que em uma p.a de primeiro 5 e ultimo termo 35 e de razão 2 quantos são multiplos de 2? ora nenhum (ah ora não tem "H" no sentido de preposição). o exercicio esta errado na verdade ele foi formulado pra ser resolvido por pa mas o autor do mesmo disse se tratar de uma pa por tanto nao faz sentido mesmo que nao tenha sido dado a razão pois é uma questão de fatores divisiveis por 5k e 7k e como foi dito existem interseções identicas portanto retiramos os de 35k... porém acho que é uma questão inutil e que não vale a penas discutir tanto por isso...

Caio

Caio Santos · Veteran Member

olha eu parei uma meia hora para pensar nessa questão e cheguei a uma conclusão que é a seguinte: o motorpain foi o que mais se aproximou , pois caro amigo "caju" (é isso?) o que ele disse é verdade pois se uma pa tem termo primeiro como sendo 1000 e termo ultimo como sendo 10000 as razões podem ser 1 , 2 , 5 ,10... e repare que se a razão é 5 ou multipla de 5 existem numeros que tambem são multiplos de 7 portanto está correto o fato de se retirar os multiplos de 35k portanto a resposta dele está certa se a razão for de multiplicidade 5 , pois como muitos nao entenderam ele a resolveu por multiplicidade (e mesmo se for 1). Pois veja se mesmo não sendo dada a razão suas possibilidades são limitadas para que o ultimo termo seje 10000 e portanto a solução apresentada acima está parcialmente correta pois ele consideou como sendo uma pa de multiplicidade 5. porém existem 2 solucões corretas a segunda seria fazer as interseções com o fator de multiplicidade 2 (que também é possivel) mas pelo o que ele afirmou acima não faz sentido perguntar multiplos de 7 em uma pa de razão 18 pois a unica possibilidade é o primeiro termo o seje. Portanto se a razão é do tipo 2K apenas o termo todos não são multiplos de 7! E foi isso o que ele quiz dizer... mas acho que ele também deveria ser um pouco mais flexível...

Olha eu sou aluno do 3 colegio em SP , no colegio Aguiar e gosto muito de matematica posso criar qualquer tópico que quizer aqui?

obrigado

Motorpain · Guru

Caro Motorpain.

O primeiro sinal da falta de segurança é alardear o cargo que ocupa ou a formação acadêmica. Pessoas que procedem assim tem muito pouca objetividade, pois precisam se esconder atrás de algo que lhe protejam. A falta de humildade em vc é notória, mas isso não lhe dá o direito de desmerecer o Prof. Caju, que tem dado muito de si nesse fórum em benefício dos que precisam dos seus conhecimentos e que não poucos. Creio que vc é mais uma ave rara sem muita elasticidade intelectual que por aqui se aventurou sem muito propósito, sua falta sequer será notada, dado a ua grande insignificância. Vc disse: e seu eu nao fosse bom nao seria do departamento de física da UFMG. Pura balela. Isso nada significa, pois os outros seus colegas devem ser tão ruins ou pior do que vc, lhe dando essa chance de se destacar. Não consigo entender como alguém do seu nível pode ocupar um cargo dentro de um departamente universitário. Note que numa simples frase vc cometeu 4 erros de português, até aí tudo normal, pois muitos professores têm esse grave problema com a grafia da nossa língua. Mas a falta mais grave de todas é o professor não saber acentuar a palavra da sua própria disciplina e nem considerá-la importante para iniciá-la com letra maiúscula. Mas mesmo assim fico triste, pois quem sabe se num futuro bem distante vc não melhoraria e se tornaria útil para o nosso fórum, mudando essa triste estatística de professores desequilibrados emocionalmente e que tanto prejudicam a formação de nossos filhos. Volte quando se sentir mais lapidado interiormente.

Passar bem.

-- Edited by paulo testoni at 15:10, 2006-03-21

-- Edited by paulo testoni at 15:14, 2006-03-21

Caio Santos · Veteran Member

Nem depois de tudo que li só queria dizer ao todos: Devemos as nossas vidas aos calculos... uma gota a mais de um mol de medicamentos mata... Portanto estamos vivos porque Foi escrito Macunaíma ou porque Existe o calculo integral... sinceramente noto um desequilibrio em motorpain mas amigo Paulo ele tem razão na sua explanação... e entre nós ortografia é ridiculo...

caju · Prof.

Olá a todos...

Caramba, esse tópico deu o que falar! ;-)

Bom, não espero dar nenhuma lição de moral aqui, nem ensinar a ninguém como se portar perante os outros. O meu objetivo com o site em sí é apenas ensinar Matemática.
Graças a Deus tenho uma grande facilidade com números e, já com oito anos ensinando essa matéria, acho que tenho uma experiência suficiente para me garantir uma didática boa e um banco de questões já resolvidas bem grande na minha mente.

Problemas de interpretação são muito comuns, e quando a ira sobe a nossa mente fica difícil vermos mesmo que estamos errados. Alguns se portam de uma maneira outros de outra. Na verdade, nenhum tipo admite o erro na hora mesmo. Mas alguns, mais tarde, com a cabeça fria, conseguem raciocinar melhor e acabam admitindo o erro e crescendo muito (pois os melhores aprendizados são os feitos em cima dos erros).

Caro Motorpain, você disse que não faz sentido dar uma P.A. de razão 18 e pedir os termos divisíveis por 7! Poxa, pra mim faz o maior sentido!!! É uma questão fantástica!! Inclusive já foi cobrada em concursos de alto nível no Brasil.
Vou lhe mostrar um exemplo rápido (o mesmo raciocínio que eu fiz na segunda resposta dada a este tópico).

Em uma P.A. de 1000 termos, com a1=4 e razão r=18 quantos termos da P.A. são divisíveis por 7?

termo geral: an = 4+(n-1)*18
queremos os múltiplos de 7: 4+(n-1)*18 = 7k, com k inteiro

18n-7k=14

Que é uma Equação Diofantina com infinitas soluções nos inteiros (pois mdc(18,7)=1 e 1 é divisível por 14). Para maiores informações sobre esta matéria (que é possivelmente entendida por qualquer aluno de ensino médio razoável), encontrei rapidamente um site no google:

http://users.isr.ist.utl.pt/~alex/micd0506/micd5c.pdf

A solução inicial pode ser n_0 = 7 e k_0 = 16 e todas as outras solução serão:

n = 7 - 7*Q
k = 16 - 18*Q
Onde Q é um número inteiro qualquer

Como o "n" varia entre 1 e 1000:

1 < = 7 - 7*Q < = 1000
-141,85 < = Q < = 0,85

Neste intervalo temos do -141 até o 0, ou seja, 142 termos da P.A. são divisíveis por 7.

Questão muito legal, não achou?

Caro Caio Santos, a resolução dada pelo Motorpain não está certa, ele não tem razão na sua explanação. Está resolvendo uma outra questão em cima da nossa questão. Dê uma olhada na solução que eu comecei na minha primeira postagem neste tópico.
A razão da P.A. dada nesta questão é r=9000/(n-1). Ou seja, a questão é fazível, tem solução.
Mas com certeza não é uma questão que cairia nos vestibulares regulares do Brasil. Com certeza a vontade do cara que criou a questão não era deixá-la desta maneira.
De repente, o que o examinador queria era mesmo o que o Motorpain tá dizendo, a probabilidade é grande. Mas o criador não conseguiu se expressar no enunciado.

A Matemática é uma ciência exata.
Acredito que, principalmente na matemática básica, não deveria existir "interpretações pessoais" nas questões. A solução é única e sempre tem uma resolução com muito nexo.

Não vamos deixar esta discussão morrer aqui... Coloquem suas idéias e opiniões.

Abraços

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

Caio Santos · Veteran Member

Ok... não vamos deixar morrer o tópico então digo... Caju (vou chama-lo assim) se a matemática é exata vc nao pode pensar em probabilidade. vejamos: Antes de lançar-mos um dado , dependendo da intensidade com o que o fazemos , sua energia potencial acumulada , a resistencia do ar , a ação gravitacional e o modo com que se choca com o solo influenciam a face do dado que fica pra cima. Ou seje equações prévias mostram o que acontece... As vezes acho que o calculo estatisco desmantela a matematica...

Bem... como contribuição o que acham dessa questão?

Seja uma função definida nos conjuntos dos números naturais tal que f(n+2) = f(n) + 3, para todo n pertencente os naturais.Sabendo-se que f(0) =10 e f(1) =5, os valores de f(20) =? E f(41) = ?, são respectivamente:

a)40, 65 b) 21, 65 c)40, 62 d) 21, 42 e) 65, 40

Data: Mar 24, 2006

nao sei se ajuda muito mais...
sim ! a questao esta errada,
levei-a para o alex (9°imc 05), quem conhece sabe de quem estou falando ,e todas as possibilidades para a resolução ja foram comentadas aqui pelo que parece.

ps.
esse forum desde que foi lançado ja presenciou a aprovação de 3 alunos para o ime e 1 para o ita, comprovando a qualidade do forum em comparaçao a muitos outros sites ae . portanto quando chegar pessoas do tipo do cidadão motorpain, que praticamente subestimou todos que aqui postam, não vamos nos estressar. ignorem.