Olá Paulo

Muito legal esta questão. Pena que está com o enunciado errado! hehehe

Do jeito que tá escrito a resposta é "infinitos", pois não está restringindo a natureza de X.
Mas dá pra ver que o que a restrição que ele está querendo é que X seja inteiro... então vou resolvê-la como se estivesse escrito isso.

Bom, dizer que um triângulo possui seu ortocentro interno é a mesma coisa que dizer que o triângulo é acutângulo (nenhum ângulo maior do que 90°).
Então devemos achar para quais valores de X o triângulo não tem nenhum ângulo maior que 90°.

Pela regra de existência de triângulos, vemos que o valor de x estará entre
8 - 5 < x < 8 + 5
3 < x < 13

Agora vemos qual o valor de x que fará com que o triângulo seja RETÂNGULO. Digamos que x seja o maior lado, ou seja, x>=8. Aplicando pitágoras com x sendo hipotenusa:

x² = 8² + 5²
x = raiz(89) = 9,43...
Mas não precisamos saber o valor exato da raiz de 89, só devemos saber que é um valor maior que 9 e menor que 10.

Agora podemos dizer que, para valores de x maiores que 9,43, o ângulo oposto a x será obtuso, e para valores menores que 9,43 o ângulo oposto a x será agudo.

Portanto, até agora, sabemos que 8 =< x < 9,43.

Agora vamos pensar como se o 8 fosse a hipotenusa, ou seja, x 6,24 o ângulo oposto ao lado de tamanho 8 será agudo, e para x < 6,24 será obtuso.

Portanto, fazendo a interseção das duas condições que encontramos, temos:

6,24 < x < 9,43

Os valores inteiros neste intervalo são 7, 8 e 9. Três valores.

Atenciosamente
Prof. Caju
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