Podemos resolver essa equação da seguinte maneira:

log1/4 (x+1) = log 4 (x-1)

Primeiramente vamos verificar a condição de existência do logaritmo:

Para o logaritmo existir temos que:

x+1>0 e x-1>0,ou seja x>-1 e x>1 que finalmente nos da a condição em que x > 1

Sendo assim temos:

log1/4 (x+1) = log 4 (x-1)

Fazendo a mudança de base de 1/4 para 4 em log 1/4 (x+1) temos :

log 4 (x+1) / log 4 (1/4) = log 4 (x-1)

Note que log 4 (1/4) pode ser substituido por -1,pois 4^ -1 = 1/4

Sendo assim temos:

log 4 (x+1) / -1 = log 4 (x-1)

log 4 (x+1) = (-1) . log 4 (x-1)

log 4 (x+1) = log 4 (x-1)^-1

No entanto se log 4 (x+1) = log 4 (x-1)^-1, temos que x+1 = (x-1)^-1

Sendo assim temos:

x+1=(x-1)^-1

x+1=1/x-1

(x+1).(x-1)=1

(x)^2-(1)^2=1

x^2-1=1

x^2=2

x=+ ou - raiz quadrada de 2

Pela condição de existência x >1,então descartamos o valor negativo ficando somente com o valor raiz quadrada de 2

Resposta:Para que log 1/4 (x+1)= log 4 (x+1) o valor de x deve ser igual a raiz quadrada de 2.

Espero ter ajudado !!!