Olímpiada de 1966

paulo testoni · Guru

Olímpiada de 1966

paulo testoni · Guru

UMA EQUAÇÃO DE TERCEIRO GRAU EM QUE O TERMO DO X^3 É 1... VC PODE ESCREVER DA SEGUINTE FORMA:

( X - X1 ) . ( X - X2 ) . ( X - X3) = 0 RESOLVENDO AS DISTRIBUTIVAS TEMOS:

X^3 - X² . ( X1 + X2 + X3 ) + X ( X1 . X2 + X1 . X3 + X2 . X3 ) - X1 . X2 . X3 = 0

ENTÃO:

X^3 - ( X1 + X2 + X3 ) . X² + ( X1 . X2 + X1 . X3 + X2 . X3 ) . X - X1 . X2 . X3 = X^3 - 503 . X² + (A+4) . X - A

VAMOS AS IGUALDADES:

{ X1 + X2 + X3 = 503
{ X1 . X2 + X1 . X3 + X2 . X3 = A + 4
{ X1 . X2 . X3 = A

SABE-SE Q A SOMA DE DUAS RAIZES É 4... VAMOS DIZER Q É X1 E X2:

X1 + X2 + X3 = 503
4 + X3 = 503
X3 = 499

X1 . X2 + X1 . X3 + X2 . X3 = A + 4
X1 . X2 + X3 ( X1 + X2 ) = A + 4
X1 . X2 + 499 . 4 = A + 4
X1 . X2 = A - 1992

X1 . X2 . X3 = A
( A - 1992 ) . 499 = A
499A - 994008 = A
A = 1996

Feito por Brubeyk

jack · Veteran Member

ola, eu tinha feito aqui ,mas alguma coisa aconteceu com a minha conta que eu postei e nao apareceu, acho que deu error na minha conta pq eu voltei do zero eu sou newbie de novo.

-- Edited by jack at 22:28, 2006-03-29

jack · Veteran Member

e 2 é raiz dupla =p
só pra completar

paulo testoni · Guru

Das Relações de Girard, temos:

(1) x + y + z = 593
(2) x*y + x*z + y*z = a + 4
(3) x*y*z = a

O exercício diz que:

(4) x + y = 4, substituindo esse valor em (1) , temos que:
x + y + z = 593
4 + z = 593
z = 593 – 4
z = 499

De (2), temos que:

x*y + x*z + y*z = a + 4, colocando z em evidência, fica:
x*y + z*(x + y) = a + 4, mas como x + y = 4, então:
x*y + 4z = a + 4, isolando x*y, temos:
x*y = a + 4 – 4z, substituindo x*y em (3), fica:
x*y*z = a
z*(a + 4 – 4z) = a
az + 4z – 4z² - a = 0, arrumando melhor:
az – a + 4z – 4z² = 0
az – a = 4z² - 4z
a*( z – 1) = 4z*( z – 1), colocando a e z em evidência em cada termo:

a*( z – 1) = 4z*( z – 1), cortando o termo comum (z – 1) em ambos os lados da equação, fica:

a = 4*z, como z = 499, então:
a = 4*499
a = 1996