Olá Thiago , não sei se minha resolução é coerente , pode parecer até antiquada e provavelmente deve ocorrer um método mais fácil de resolução... de qualquer modo -

Se 2 lados medem x e x-6 e o perímetro é x+12 , o outro lado vale x-18.

Agora , X>0 , X-6>0 e 18-x>0 daí temos  6<x<18. Agora repare que para qualquer valor deste intervalo o lado medindo x-6 sempre será menor que um deles , portanto devemos decidir qual dos lados é maior (18-x ou x).

18-x>x , se x<9 ou x>18-x , se x>9.

Agora fazendo as interseções com a condição inicial temos que se x-18 é o maior lado 6<x<9. Agora se X for o maior lado 9<x<18.

Repare agora que 18-x não pode ser o maior lado , pois os valores inteiros da solução são:7 e 8 e se voçê substitui voçê encontrar os valores 1,7,11 e 2,8,10 que são impossíveis para um triangulo pois o maior lado em ambos os casos é superior a soma dos outros dois menores.

Analise agora o segundo caso. se X for o maior lado temos os seguintes valores inteiros : 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,17. Substituindo um a um voçê nota que a partir de 11 também é impossível pois para x=11 ,temos 11 , 7 e 5 que é impossível e para 17 temos 11 , 7 , 5 que é o mesmo valor só que invertido... (caiu a ficha?).

Substitua por 10 e voçê encontra os lados 10 , 8 e 6 que é totalmente possivel. Note ainda que o triangulo é retangulo e pitagórico. 

Obs: Esta resolução esta totalmente sujeita a erros da minha parte...ok? 

segunda obs: não sei porque essas carinhas malucas estão no lugar dos números!!!! mas onde elas estão vc deve ler "18 - x". e no primeiro caso "18 - x > x".

Voçês tem razão pessoal...é que eu li "triangulo" em vez de retangulo...mas acabei criando um exercio legal em cima disso voces viram! rsrsrsr... Foi mal pelo erro!

Eu  tentei de todas as formas e realmente encontrei x=8,