usando extamente cinco cores diferentes, para pintar um cubo de seis lados, uma das cores dever repetir. considerando a cor 1, 2, 3, 4 e 5 ja temos pelo menos 5 maneiraas diferentes (uma na que a 1 se repete, outra em que a 2 se repete e por ai vai) 

pegando o caso especifico em que a 1 se repete, (entao uma das faces e a face oposta a ela e da cor 1) vamos analisar de quantas maneiras podemos pintar o cubo.

"Abrindo" o cubo, teriamos as cores da seguinte maneira:

      1

X X X X

      1

como podemos girar o cubo livremente, e duas faces opostas sao iguais, consegue-se chegar a conclusao de que a unica maneira de fazer cubos diferentes e fazer com que cores dferentes se encostem.

por exemplo em um caso a cor 2 estaria oposta à cor 3,em outra à cor 4 e em outra à cor 5, o que ja engloba todo os casos possiveis (note que se voce falar que por exemplo a cor 3 esta oposta a 4 e o mesmo caso do 2 estar oposto a 5)

portanto para cada cor que se repete a 3 casos de cores diferentes ou seja 5*3 = 15 maneiras.

(caso alguem esteja imaginando que haja casos diferentes com a mesmas cores opostas, por exemplo colocando o cubo em uma mesa com a cor 1 virada para voce e repetida na face virada para tras, a cor 2 em cima a cor 3 a direta, a 4 a esquerda e a 5 em baixo, se trocarmos a posicao da 3 e da quatro, teriamos um cubo diferente do anterior, mas com as mesmas cores encostando. nao e verdade pois se voce girar o cubo de modo que a face de tras fique na frente (elas sao iguais) e a mesma coisa de trocar a posicao da direita com a esquerda, portanto e o mesmo cubo)

professor, isso tinha sido exatamente o que eu tinha pensado na primeira vez que fiz o exercicio e e a melhor maneira de explicar (eu nao tenho muito didatica) mas ainda sim contem o erro que fez eu editar a minha resposta inicial. como disse no meu exercicio, apenas importa os "quadrados que se tocam" e nao a ordem deles.o que eu quero dizer e que esses seis cubos na verdade sao tres. numerando da seguinte maneira: (da sua figura)

1 2

3 4

5 6

os quadrados 1 e 6, 2 e 4, 3 e 5 sao os mesmos.... para ver isso, basta por exemplo fechar o cubo 1, e girar ele de uma maneira que uma das faces cinzas (numero 5) fique no lugar da outra... o que resulta no cubo 6, portanto eles sao iguais.... (isso so acontece pois as faces cinzas sao iguais dividindo a resposta por 2.) 

muito facil de perceber com um dado (finja que o 1 e o 6 (que sao geralmente opostos) sao o mesmo numero e coloque ele com o 1 virado para voce. gire o dado e coloque o 6 virado dependendo do geito que virou acontece uma das coisas: ou troca-se a direita e a esquerda mantendo se o de cima ou o de baixo, ou troca-se o de baixo e o de cima mantendo-se o da direita e da esquerda, e em ambos os casos  6 esta no lugar do 1. ou seja se o 6 for igual ao 1, o que voce fez foi somente trocar o da direita com o da esquerda sem mexer nos outros dois (que e a mesma coisa que trocar o de cima e o de baixo, basta girar o cubo sem tirar o 6 da frente e voltar com o que era de cima originalmente). isso mostra que no caso deste exercicio, os cubos citados anteriormente sao os mesmos